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Dossier : Le Timée de Platon

Genèses relatives et genèses originelles dans le Timée1

Bernard Besnier
Société d’Études Platoniciennes
p. 129-140

Full text

  • 1 Ce texte est la version remaniée d'un article originellement publié dans Lectures du « Timée » de P (...)

1L’aspect par lequel la physique du Timée se distingue le plus radicalement de l’atomisme abdéritain, c’est que les particules caractéristiques des quatre corps simples sont susceptibles d’être décomposées, et non pas seulement de façon théorique, mais effectivement ; ce qui fait que les corps simples sont « moins que des syllabes » et que leurs particules sont soumises à la génération et à la corruption. Les particules des quatre corps simples, c’est-à-dire des polyèdres, peuvent être décomposées les unes par les autres - cette décomposition allant plus loin que les faces, jusqu’aux triangles élémentaires qui les constituent par assemblages - et pour trois d’entr’elles (feu, air, eau) la décomposition peut être suivie d’une récupération des triangles élémentaires du polyèdre « vaincu » pour former des particules supplémentaires du corps simple « victorieux ». Ce cycle d’échanges ou de transformations est celui de notre quatrième espèce de changement, la gevnesi~. Même les triangles élémentaires ne doivent pas être envisagés comme comportant une taille ultime atomique ;ce qui est invariant c’est la proportion et les règles d’assemblage de chacune des faces des polyèdres .Cela permet d’envisager des changements de taille des particules (polyèdres) par assemblage ou désassemblage des triangles élémentaires , pourvu qu’ils respectent les deux règles de composition (4 triangles rectangles isocèles pour une face du cube et 6 demi triangles équilatéraux pour une face de tous les autres polyèdres) : soit que plusieurs triangles élémentaires deviennent un triangle élémentaire de taille supérieure , soit qu’un triangle élémentaire devienne plusieurs triangles élémentaires de taille inférieure.

2Pour la clarté de l’exposé, on peut distinguer les genèses « relatives » (gevnesi~ eij~ a[llhla), qui sont les transformations des particules d’un corps simple en un autre corps simple, et un processus de « genèse originelle », par lequel il y a eu formation des quatre polyèdres réguliers (tétraèdre, octaèdre, icosaèdre et cube) qui forment les quatre corps simples. Bien que les particules cubiques de terre, du fait qu’elles sont formées à partir d’un triangle élémentaire ( rectangle isocèle dont les rapports sont 1 :1 :√ 2) qui est d’une autre sorte que le triangle caractéristique (1 :√3 :2) des trois autres polyèdres, ne puissent pas se transformer en particules d’air, d’eau, ni de feu , elles n’échappent pas complètement au cycle dont nous parlons, car elles peuvent être détruites par les assauts des particules des autres éléments :simplement elles se recomposent en particules cubiques, sans doute après changement de leur taille. Pour ce qui regarde le feu, l’air et l’eau, leurs particules sont des polyèdres dont les faces sont des triangles équilatéraux et ces triangles équilatéraux ont tous été formés de la même manière par l’association de 6 triangles rectangles (dont les côtés sont dans les rapports 1 :√3 : 2 ) ;par conséquent on peut estimer les rapports quantitatifs dans lesquels se trouvent les trois sortes de particules d’après le nombre de triangles élémentaires qui forment leur surface, c’est-à-dire 24 pour le tétraèdre (feu), 48 pour l’octaèdre (air) et 120 pour l’icosaèdre (eau).Ces relations,(où l’on a bien l’impression que le triangle élémentaire sert de mesure pour chacune des trois formes polyédriques) définissent les rapports selon lesquels les particules de ces trois corps simples se transforment les unes dans les autres. Toutefois, en considérant les pages 56d - 57c où sont énoncées les règles de transformation, il y a lieu de faire attention à ce qui suit.

31° Bien que les gevnesei~ eij~ a[llhla aient lieu lorsque des particules d’un corps simple se trouvent entourées et assaillies (cf. les nombreuses occurrences de macomv ai et de nikavw dans ce passage) par des particules d’un ou des deux autres corps simples, de telles rencontres de particules hétérogènes ne se déroulent pas nécessairement comme un « combat » à l’issue duquel les particules d’une espèce doivent être transformées en particules de l’espèce victorieuse. Il peut bien arriver que, simplement, elles se juxtaposent ; il peut aussi arriver que les particules de l’espèce n° 1 détruisent certaines particules de l’espèce n° 2, mais ne se les assimilent pas et les laissent se recomposer (généralement avec changement de taille) ; quand elles ont affaire à des particules de terre, c’est ce qui se passe.

42° Bien que Platon garde l’idée (traditionnelle) qui fait du feu le corps simple le plus actif des quatre, il ne prétend pourtant pas que la rencontre de feu avec de l’air ou de l’eau aura toujours pour issue une combustion des particules d’air ou d’eau et leur assimilation au feu ; il peut tout aussi bien en résulter une extinction du feu : cela dépend, pour ainsi dire, du « rapport de forces »,ce qu’il exprime en disant que les particules du corps simple victorieux sont plus nombreuses et entourent (de plus :entraînent) celles du corps qui sera vaincu. Ce point est important car, bien que les règles quantitatives de transformation qui sont données en 56 d 6-e 8 soient exprimées en disant en combien de tétraèdres de feu sera transformé un octaèdre d’air (évidemment 2), etc., il convient de se souvenir qu’en principe on n’a pas d’affrontement et de transformation lorsqu’une seule particule en rencontre une seule autre , mais que la rencontre ne prend cette tournure que lorsqu’il y a supériorité numérique de l’un des groupes de particules sur l’autre.

  • 2 Indication qui n'est compréhensible que si on lit - qevn te kai; [et non pas e i[te kai] uJp v u{dw (...)

53° D’après 57 b 3, il semble que, bien qu’a priori ces transformations soit possibles, Platon ne considère pas qu’il y ait normalement transformation directe de feu en eau (selon la règle 5 tétraèdres = 1 icosaèdre ) ;il y a normalement passage préalable du feu en air (puis de l’air en eau).Or cela s’accorderait avec l’indication de 56 d 6-72, laquelle semble bien vouloir dire qu’il n’y a pas d’attaque de l’eau par le feu seulement, mais toujours dans un entourage qui comporte aussi de l’air, si bien qu’elle se décompose alors selon la règle :

un icosaèdre ------> un tétraèdre + deux octaèdres (24 +2 (48) =120)

ensuite les deux octaèdres peuvent être transformés en quatre tétraèdres.

  • 3 Ce qui exclut, par exemple, un polyèdre « semi-régulier » (d'Archimède) dont les faces sont six car (...)
  • 4 Là encore, on s'aperçoit que Platon donne davantage de réalité aux sensibles de l'olfaction que ne (...)

64° J’en viens maintenant à un point plus délicat. En principe il peut y avoir transformation directe (et complète) d’eau en air (et d’air en eau). Platon donne alors la règle (56 e 6-8) : il faut deux octaèdres et demi (d’air) pour former un icosaèdre d’eau. Cette règle pose un petit problème, du fait que le demi-octaèdre n’est pas présenté comme un tétraèdre (24 triangles élémentaires), ceci parce que Platon pense évidemment que la transformation entre air et eau peut être parfaite sans qu’il y ait besoin de supposer qu’il se forme aussi des particules de feu. Mais alors le demi-octaèdre n’est pas un polyèdre régulier. Bien entendu, on peut considérer que la transformation n’a effectivement lieu que lorsqu’il y a cinq particules d’air, qui donnent alors deux particules d’eau (5 * 48 = 2 * 120). Cette solution est tout à fait plausible et c’est certainement celle qui, dans l’esprit de Platon, correspond à une transformation parfaite. Mais il convient de faire état de la possibilité que, dans la transformation de particules d’un corps simple en celles d’un autre corps simple, il puisse y avoir des formations polyédriques intermédiaires qui ne soient pas régulières. C’est ce qui nous est indiqué à propos de la formation des odeurs (66 d sq.). Il s’agit justement de phénomènes, très éphémères, qui se produisent au cours des processus de transformation d’air en eau et d’eau en air, lesquels peuvent comporter des corps qui ont le style de la vapeur et de la fumée. Platon aurait pu les considérer comme de pseudo-mélanges (par juxtaposition) de particules d’eau et de particules d’air ; et certainement de tels pseudo-mélanges existent, mais ce ne sont pas eux qui constituent les odeurs. Les odeurs sont des corps que Platon considère comme « à demi engendrés » (hJmigenev~ 66 d 2) :les quatre corps à structure polyédrique régulière ne peuvent pas provoquer de sensations olfactives (pour des raisons qui tiennent à la relation de leur configuration avec celle des canaux de l’olfaction) et ne le peuvent que ces hJmigenh’ dont il faut dès lors admettre (avec Taylor) qu’ils sont formés de particules à structure polyèdrique irrégulière, mais malgré tout ,à partir de triangles élémentaires d’une seule espèce3.Ceci peut nous donner une idée de ce qui se passe pour les 24 triangles élémentaires que nous avons « de reste » lorsque, par exemple, un icosaèdre d’eau (120 triangles) se décompose en air (soit :2 octaèdres et 24 triangles restants).Si ces 24 triangles élémentaires se recomposaient en 4 faces de 6, elles formeraient un tétraèdre régulier, donc une particule de feu : c’est ce que nous voulons éviter. Mais nous y reviendrons - la « régularité » d’un polyèdre formé de triangles de l’espèce (1 : √3 :2),comporte, aux yeux de Platon, la formation de chacune de ses faces (qui sont des triangles équilatéraux « syllabes ») par six de ces triangles élémentaires ; or bien entendu (et Platon le sait bien puisqu’il l’indique lui-même),on peut former un triangle équilatéral avec deux triangles élémentaires de cette espèce et dès lors, en supposant que nos triangles élémentaires s’assemblent « en syllabes » de cette façon, avec 28 d’entr’eux, on peut former deux particules dont chacune aura la configuration stéréométrique d’un « tétraèdre double » (c’est-à-dire deux tétraèdres collés l’un à l’autre par une face commune, ce qui réduit le nombre de faces du solide ainsi formé à 6),soit donc 6 faces de chacune 2 triangles élémentaires. Bien que toutes les faces de ce polyèdre soient des triangles équilatéraux égaux entr’eux, il n’est cependant pas régulier car tous ses angles solides ne sont pas égaux. Ceci pourrait nous fournir un bon exemple de la structure de corps constitutifs d’odeurs ,et l’on pourrait imaginer que l’une des variantes du processus de transformation d’air en eau se fasse de la façon suivante :lorsque 3 particules d’air (c’est-à-dire 3 octaèdres) sont détruites , elles se transforment en 12 particules de vapeur (oJmivclh),qui produisent des senteurs, jusqu’à ce qu’elles rencontrent 2 particules supplémentaires d’air (ou 8 particules supplémentaires de vapeur), auquel moment les 240 triangles élémentaires ainsi rassemblés peuvent s’ajointer en structure stéréométrique régulière pour former 2 particules d’eau (icosaèdre)4.

7Nous voyons donc qu’en plus du fait que certaines transformations (entre le feu et l’eau) ne paraissent pas pouvoir s’accomplir directement, mais ex i gent une transformation intermédiaire (soit en totalité, soit en partie) en air, il est aussi possible que les échanges entre air et eau ne se réalisent pas tout de suite en des transformations « parfaites », mais que, une fois qu’elles sont amorcées, elles passent par des étapes où l’on trouve des corps qui ne sont qu’à « demi-nés ». A ce qu’il me semble cependant, les formations transitoires qui peuvent apparaître au cours de ces processus doivent prendre une configuration polyédrique (quoique irrégulière) et (en faisant provisoirement abstraction du problème des tailles des particules, sur lequel on reviendra) il ne me paraît aucunement justifié de supposer (comme il est arrivé à Mugler de le faire) qu’il puisse se libérer des triangles élémentaires absolument « libres », fût-ce pendant un intervalle de temps fort limité. Mugler croyait cette supposition nécessaire pour expliquer ce qui se passe lorsque le nombre des triangles élémentaires contenu dans les particules de l’état initial de la transformation (p. 144 lorsqu’on a 3 octaèdres d’air) ne permet pas de former un nombre entier de particules à l’état final (par exemple d’icosaèdres d’eau, lesquels ont chacun 120 triangles élémentaires). Plutôt que de penser qu’il y a alors des triangles élémentaires qui restent libres parce qu’inutilisés, je pense qu’il faut faire place à deux possibilités :

8a) soit les triangles d’air qui ne sont pas utilisés en composants des particules d’eau sont en nombre tel qu’ils peuvent néanmoins s’assembler en configuration polyédrique relativement irrégulière (mais dont les faces sont tout de même des triangles équilatéraux et égaux entr’eux)

9b) ou bien, si cela n’est pas possible, eh bien ! il n’y a tout simplement pas de gevnesi~ eij~ a[llhla et les particules hétérogènes qui se rencontrent se juxtaposent sans destruction. C’est un point que, pour trivial qu’il soit, les commentateurs modernes n’ont guère eu présent à l’esprit et qui leur a fait chercher des solutions désespérées à partir de ce préalable (qui n’est manifestement pas celui de Platon) que toute rencontre de particules hétérogènes devrait se solder par une genve si~ eij~ a[llhla. Disons donc que pour qu’il y ait une transformation d’un corps simple en un autre, il faut que certaines proportions quantitatives favorables soient données, et que par-dessus le marché, un processus de transformation peut comporter des résidus « à demi-nés » transitoires.

105° On peut considérer qu’une phrase (qui est une sorte de parenthèse) en 57 a 3-5 établit une sorte de limite (qui est une limite de pertinence) aux processus de générations « relatives » :lorsque des tétraèdres de feu, par exemple, ont déchiqueté un octaèdre d’air et que les débris de celui-ci se sont recomposés en 2 tétraèdres, il n’y a pas d’autre processus de dissolution, car, est-il dit, chaque « genre » (c’est-à-dire chaque genre polyédrique) ne peut ni subir ni exercer de transformation de la part de et sur ce à quoi il est homogène (c’est-à-dire de même configuration polyédrique). On peut, si l’on veut, en tirer le principe qu’il n’y a pas de gevnesi~ eij~ a[llhla entre particules homogènes, c’est-à-dire du même corps simple. N’allons toutefois pas jusqu’à dire qu’il n’y a aucune « action », d’aucune sorte, du semblable sur le semblable, car, d’abord, entre les particules du même corps simple (homogènes) il y a au contraire une « action » (si l’on veut) dont nous verrons tout à l’heure l’importance, à savoir qu’elles s’attirent, qu’elles tendent à s’agglomérer. En second lieu, il y a des degrés dans la ressemblance : des particules peuvent être homogènes en ce sens qu’elles ont même configuration polyédrique (ce sont par exemple des cubes), mais elles peuvent être de tailles différentes ; or nous avons vu que, dans un agrégat de particules hétérogènes, la non-uniformité des tailles facilite la mobilité (locale) de l’ensemble, ce qui signifie que les particules de tailles inégales peuvent agir les unes sur les autres en se « poussant ». Ainsi nous avons vu (dans le cas de la coloration du medium lumineux) que des variétés d’un même corps simple (et ces variétés sont des variétés selon la taille) peuvent produire l’une sur l’autre des pressions qui condensent ou dilatent ; enfin nous avons également vu (transmission « sympathique » de l’image d’un corps) que même en supposant des particules d’un même corps simple égales en taille, la vibration du groupement de certaines d’entr’elles peut se transmettre par propagation à d’autres ; simplement, dans ce cas, comme il y a égalité des tailles, cette propagation se fait comme par transmission d’ondes à travers un milieu conducteur et qu’il n’y a pas, à proprement parler, déplacement local des particules sous la poussée des autres.- Bornons donc la portée de ce principe de 57 a 3-5 à dire qu’entre particules homogènes (c’est-à-dire de même configuration polyédrique) il n’y a pas d’action de dissolution (ou dislocation). Il en résulte dès lors que si, comme nous l’avons admis, il peut, pour des particules d’un corps simple, y avoir changement d’état, c’est-à-dire passage d’une variété à une autre de ce même corps simple, et que cela suppose le changement de taille, et si ce changement de taille ne peut pas se produire sans dislocation, celle-ci ne pourra pas ê t reproduite par l’action de particules du même corps simple :il faudra que ce soit celle de particules hétérogènes. Ainsi si du feu pur doit passer à l’état de flamme et que l’on suppose que cela implique la formation de tétraèdres de plus grande taille, ce ne sera pas sous l’action de la flamme, mais sous celle de l’air que cette altéra t i o n pourra avoir lieu.

11La question des changements de taille des particules offre, il faut l’avouer, des difficultés embarrassantes pour le tableau que je viens de tracer jusqu’ici. Mais peut-être l’exégèse moderne les a-t-elle compliquées exagérément.

  • 5 F.M. Cornford, Plato's Cosmology, Londres, Routledge, 1935, p.230 sq.
  • 6 A. E. Taylor, A Commentary on Plato's Timaeus, Oxford, Clarendon,1928.
  • 7 Cf. C. Mugler, La Physique de Platon, Paris, Klincksieck, 1960, p.25 dont l'analyse constitue une i (...)

12Tout d’abord l’existence même de particules hétérogènes et de tailles inégales a donné lieu à des spéculations hasardeuses. Le passage qui en fait état (57 c 6 - 57 d 6) est assez difficile. Mais, en admettant qu’en 57 c 9 a ijti a tevon th ;n suvs t a sin eJkatevrou tw`n stoiceivwn [t rig wvn w n], l ’ expression s t o iceiva [t rivg w n a] désigne bien les triangles élémentaires qui, nous l’avons dit, sont répartis en deux espèces (1 :1 :√2 -. 1 :√3 :2) [d’où le ekJ a tevr o u] , il est clair que l’exigence suivante doit être bien gardée présente à l’esprit : chaque polyèdre régulier est composé de 4,8 ou 20 faces formée chacune de 6 triangles de la première espèce selon un assemblage de ces 6 triangles qui est fixé , ou bien (cas du cube), il est composé de 6 faces formée chacune de 4 triangles de la seconde espèce selon un assemblage qui est également fixé. L’importance et la signification du mode d’assemblage des triangles élémentaires pour former une face triangle équilatéral ou une face carrée seront examinées par la suite. Mais ce qui me semble clair, c’est qu’aux yeux de Platon, on ne peut pas former ces faces d’une autre manière, sinon ce ne sont plus celles des quatre corps simples fondamentaux (bien entendu il y a là une contrainte qui n’est pas d’ordre purement géométrique, puisqu’il est clair que l’on pourrait aussi bien former un triangle équilatéral ou un carré avec seulement 2 des triangles de la première ou de la seconde espèce, ou aussi bien avec 16 au lieu de 4 triangles rectangles isocèles, soit 24 et non pas seulement 6 triangles rectangles de proportion (1 :√3 :2). Cette exigence que les faces du cube soient formées avec 4 triangles rectangles isocèles et les faces des autres polyèdres avec 6 triangles de l’autre espèce, pas plus, pas moins, me paraît condamner la tentative que Cornford a faite5 pour interpréter la variation des tailles. A mon sens, Platon n’admet qu’une seule façon de faire varier les tailles des polyèdres, c’est d’augmenter ou de diminuer la taille du triangle élémentaire qui en est justement l’élément : et ce facteur d’augmentation est alors multiplié (ou répercuté) 24 (pour le tétraèdre et pour le cube), 48 ou 120 fois. Une difficulté a alors embarrassé Taylor6 et Mugler : c’est que Platon dit bien (56 b7 - c2) que les particules polyédriques sont de tailles microscopiques (elles sont imperceptibles),alors que - selon l’interprétation courante7 - en 57 d4-5 (su m m e ignuvmena... th ;n poikiliav n esj ti ;n a[peira) la variété des tailles des polyèdres est infinie. Je crois, avec Cornford qu’il ne faut pas attribuer cette « infinie variété » aux tailles des particules polyédriques , mais seulement aux agglomérats qui peuvent résulter de la juxtaposition de polyèdres de tailles très diverses, mais qui ont toujours une limite supérieure qui les empêche d’être perceptibles (ce qui s’accorde mieux avec le mot poikiliva) : même deux flammes, du fait qu’elles contiennent toutes deux un nombre énorme de tétraèdres et que l’on peut envisager une grande diversité dans la combinaison (y compris dans le rangement) des tétraèdres de tailles différentes, seront différentes, et ainsi on peut, sans exagérer, dire que la variété des agglomérats perceptibles est « infinie ».Cette difficulté me paraît donc pouvoir être écartée (ceci tout en laissant ouverte la question de savoir si, entre une limite inférieure et une limite supérieure [celle qui empêche que le polyèdre résultant soit perceptible], la taille des triangles élémentaires croît de façon continue).

13La deuxième difficulté concerne les restrictions (et elles risquent d’être extrêmement fortes) qui s’imposent aux transformations entre corps simples, lorsqu’on fait intervenir la taille, ce que, à l’instar de Platon, nous n’avons pas fait jusqu’alors. Prenons l’exemple le plus simple : un octaèdre d’air ( = 48 triangles élémentaires) attaqué par des tétraèdres de feu et vaincu par eux se transforme en deux tétraèdres (2*24 triangles). Cela va très bien si l’on ne tient pas compte des tailles. Mais supposons qu’il y ait une différence de taille ;d’après ce que nous avons dit jusqu’alors ,on peut l’ex p rimer de la façon la plus simple en disant que le triangle élémentaire de notre octaèdre est de taille t1 et celui des tétraèdres de feu (que nous supposerons tous égaux) de taille t2, t1 t2.La difficulté qu’ont éprouvée les modernes (Taylor, Cornford, Mugler) c’est que si t2, t1, alors les tétraèdres de feu ne pourront pas s’assimiler les débris (48 triangles de taille t1) de l’octaèdre d’air. A mon avis cette difficulté vient de ce que l’on a mal compris le processus de la transformation : on fait comme si les particules du corps victorieux devaient se décomposer elles-mêmes pour s’assimiler en s’y réassociant les débris du corps vaincu ; mais il est évident que ce n’est pas le cas : si Platon insiste tant sur ce « combat » où l’un des deux corps est vaincu, c’est bien que ce sont les particules d’un seul des deux qui perdent leur forme polyèdrique initiale pour se recomposer selon une autre forme ,homogène à celle du corps victorieux .Dès lors ,suivant notre exemple ,c’est seulement l’octaèdre qui est disloqué et qui se recompose en deux tétraèdres, mais à partir de ses propres débris seulement. Il est vrai que, selon notre supposition, où la taille du triangle élémentaire de l’octaèdre initial d’air est plus grande (ou plus petite) que la taille du triangle élémentaire des particules de feu qui l’assaille, quand il se décompose et se reforme en deux tétraèdres, ces tétraèdres seront plus grands (ou plus petits) que ceux du feu qui l’a attaqué ; eh bien, soit ! il n’y a franchement aucune difficulté à cela et il en résulte simplement que le nouvel agglomérat de tétraèdres qui se forme alors sera homogène mais non uniforme : ce qui est certainement le cas de l’immense majorité des agglomérats de particules même homogènes. Cette difficulté me paraît donc pouvoir être écartée aussi bien que la précédente.

14Il y a cependant une question qui reste ouverte (mais qui est certainement d’importance mineure).Nous avons dit que lorsqu’il y a rencontre de particules hétérogènes, la question de savoir s’il va y avoir processus de g env e si~ (ou s’il n’y a que juxtaposition « pseudo mélange »,ou encore seulement changement d’état de l’un des deux groupes) dépend de la réunion (ou non) de certaines conditions favorables : il faut qu’un agglomérat soit beaucoup plus important (en nombre de particules) que l’autre [aussi que la quantité de triangles élémentaires que contient l’agglomérat le plus faible puisse permettre une transformation - avec ou sans résidus « demi-nés »], mais on peut se demander si les particules du corps assailli, bien que moins nombreuses , ne pourraient pas faire échec à celles du corps assaillant par leur taille. A mon avis, cette hypothèse n’est pas du tout à exclure, pourvu qu’on n’y mêle pas l’exigence que les particules qui sont vaincues doivent se transformer en particules non seulement de même forme, mais aussi de même taille que celles qui sont victorieuses. Simplement on pourra penser que des particules de plus grande taille peuvent enfermer des particules plus petites, même plus nombreuses, ou encore que leur taille, sans leur donner la victoire, peut faire que la rencontre aboutisse à un pseudo mélange.

  • 8 Pour l'attribution de l'emploi de riJ vza à Empédocle ,c f. DK A 70, 13 ; B 53, 4 ; 54, 2 ; 154, 22
  • 9 Pour l'attribution de l'emploi de pansper miav à Démocrite, cf. D K A 45, 2.
  • 10 Pour l'usage de to; spevrma attribué à Anaxagore, cf. par exemple DK B4 (lignes 5, 21 et 36).
  • 11 Louis Joly, Les Polyèdres, Paris, Blanchard, 1979, p.40 fig.23.
  • 12 Ce qui écarte et l'interprétation de Taylor (les rJivzai se raient les arêtes du polyèdre, ad. loc. (...)

15Reste une troisième difficulté, le seule qui oblige à trouver une solution éventuellement contestable. C’est de comprendre comment peut se produire un changement d’état dans un même corps simple. Il consiste - avons-nous dit - en ce que (sous l’action de particules hétérogènes) certaines particules d’un agglomérat (homogène) se disloquent pour se reformer en particules de même configuration polyèdriques, mais plus petites ou plus grandes. On peut donc se demander si cela est possible sans changement de la taille des triangles élémentaires. Or il semble bien que Platon n’envisage pas du tout de tels changements de taille (pour les triangles élémentaires). Il est vrai qu’en 81 c-d, expliquant ce qui fait le contraste entre la vigueur de la jeunesse et la langueur du vieillissement (l’opposition est essentiellement dans le contraste entre une facilité à maîtriser les particules de la nourriture extérieure ou au contraire à ne plus pouvoir le faire), Platon évoque le fait que les triangles qui ont la charge d’assurer la maîtrise du processus nutritif, avec le vieillissement, voient alors leurs racines se distendre. L’expression même (hJ rJivza tw`n trigwvnwn cala`,81 c 7) est assez intrigante ; le terme peut avoir été emprunté à une tradition médicale (déjà mise à contribution par Empédocle), mais peut-être aussi, y a-t-il souvenir de l’ancienne façon pythagoricienne (que Platon ne reprend pas à son compte) de poser le point comme un minimum de droite de mesure 1 ; d’où cette définition, source de confusion, qui en faisait une unité [en sous-entendant : comme l’unité arithmétique] douée de position. Il me paraît clair que Platon ne prend pas ici l’expression rJivz a comme technique (même si peut-être elle a eu un usage technique), mais que cela ne l’empêche pas d’avoir quelque chose de précis en vue. Seulement il convient de ne pas perdre de vue que, pour l’essentiel, ce qui a charge de maîtriser l’ingestion nutritive et de régler son assimilation aux tissus du corps est uni aux parties animales de l’âme qui le rendent vivant :et c’est ce qu’il appelle (73 b 4-5) « enraciner » (k a te r rivz o u n) le mortel à ce qui l’anime par des liens vitaux. Or pour former la moëlle, étant donné le rôle qu’elle doit jouer, le dieu a pris des triangles capables de former les quatre corps simples, en les arrachant à leur espèce d’origine (73 b 8-c 1) et en les mélangeant de façon proportionnée pour faire un réservoir (p a n s p e r mi va) pour tout le genre mortel .Sans entrer dans le détail de l’explication de ce passage (où les termes sont habilement choisis parce que repris à Empédocle8, Démocrite9 et Anaxagore10, mais pour leur donner une autre fonction) ,je crois que l’on peut au moins retenir ceci : la fabrication de la moëlle a quelque chose d’assez exceptionnel ,car elle est formée par la combinaison de deux espèces de triangles (1 :1 :√2 ET 1 :√3 : 2) .Si l’on pense que ces triangles sont assemblés en particules polyèdriques, alors on a peut-être affaire à ce polyèdre « semi-régulier » dont les faces sont six carrés et huit triangles équilatéraux (c’est ce qu’on appelle le « cuboctaèdre » ou cube tronqué [à ses huits sommets]11) dont, selon Héron, Archimède aurait attribué la paternité à Platon. Mais peu importe si c’est exactement cette confi g u ration ou une autre que Platon avait en vue. Toujours est-il que c’est par ces particules de moëlle que, comme on l’a dit, les tissus corporels se trouvent « enracinés » dans les âmes mortelles (végétative et sensitive) qui les font vivre, et dans ce cas je pre n d rais l’expression troublante de 81 c 7 (hJ rJivza tw`n trig wvn w n) comme signifiant : non pas la racine qui maintient ensemble les triangles de la moëlle, mais bien plutôt la racine que les triangles de la moëlle constituent et qui attachent le corps à l’âme12. Le processus de dépérissement par vieillesse, décrit en 81 cd est alors le suivant : les faces des polyèdres de moëlle, après avoir livré de nombreux combats aux particules nutritives qu’elles ont eu à maîtriser, finissent par se disloquer, selon un processus classique ; alors l’enracinement du corps à l’âme s’affaiblit et l’âme finit par s’en détacher. Ce processus peut être accéléré par la maladie. Une fois ce texte ainsi interprété on ne peut plus songer à s’appuyer sur lui pour prétendre que Platon envisagerait une dissolution des triangles élémentaires eux-mêmes :la dissolution est toujours celle des faces de polyèdres.

16Nous sommes donc toujours devant la même difficulté : comment des polyèdres peuvent-ils après une décomposition qui ne va pas plus loin que celle des faces, se reformer en polyèdres semblables, mais pas de même taille ? A vrai dire, il y a une solution qui s’offre d’elle-même et que Cornford (p. 230-233) admet (avec d’autres suggestions, plus intéressantes). Puisque l’on peut former un triangle équilatéral avec deux triangles élémentaires de l’espèce 1 : √3 : 2 (au lieu de 6), lorsque, par exemple, un tétraèdre de feu formé (normalement) de 24 triangles élémentaires (4*6) est décomposé, il peut, de ses débris , se reformer 3 tétraèdres , à 8 triangles élémentaire s chacun (4*2).Pour augmenter les tailles ce ne sera pas plus difficile :avec 3 triangles élémentaires (disons de taille t1) on peut former un nouveau triangle de même espèce (1 :√3 :2),disons de taille t2,et avec six de ces triangles de taille t2 on forme un triangle équilatéral (donc pour le tétraèdre : 72 triangles élémentaires de taille t1 au lieu de 24).Cette solution ne m’enthousiasme pas. Elle présente le défaut suivant (bien ressenti par Mugler, quoique son exposé ne soit guère plus satisfaisant) :en suivant ce mode d’obtention des différentes tailles (illustré par Cornford p. 237-238) , on est conduit à poser dans chacune des deux espèces un triangle de taille minimale (un triangle « atome », si l’on veut) et à obtenir chacune des tailles immédiatement supérieures en joignant ces triangles trois par trois dans une espèce, deux par deux dans l’autre, et ainsi de suite autant de fois que l’on voudra . Or, il me semble que, tout en admettant qu’il puisse y avoir pour chacune des deux espèces, une taille minimale, (peu importe d’ailleurs comment on la fixe), il faudrait éviter de lui faire jouer le rôle d’« atome » ou d’élément des éléments, ce qui n’est au fond possible qu’en ajoutant une sorte de correctif à la solution qu’on vient d’envisager. Voici ce que je veux dire. On admettra, comme il vient d’être suggéré, que, par exemple, dans l’espèce du triangle isocèle (celle qui donne naissance au carré) il existe une plus petite taille t et qu’il en existe une autre, également capable de donner naissance à un carré et qui est exactement son double, t’ (dans le cas de l’autre espèce, celle qui donne naissance au triangle équilatéral, il faut multiplier par 3 la première taille t, pour avoir encore une taille t’ qui donne naissance au triangle équilatéral) et ainsi de suite .Mais on admettra qu’il y a aussi dès l’origine ,une autre taille de triangle rectangle isocèle, u, plus grande que t, mais d’une supériorité assez faible - en tous cas moins que le double - et qu’elle aussi peut être doublée en u’, et ainsi de suite ; et également une autre taille, v, plus grande que u, mais plus petite que le double de t, qui peut aussi être multipliée par deux en v’. Je veux donc dire qu’entre la plus petite taille t et son double t’, il y a une aussi grande quantité de tailles intermédiaires, u, v, w, que l’on voudra, chacune étant « tête de série » u’, u’’ ( = 2u, 4u...) ;ces séries auront donc toutes une taille minimale qui sera ,pour ainsi dire ,leur atome, mais d’une série à l’autre, il n’y a pas d’atomes communs. De la sorte on se donne la possibilité d’admettre que des polyèdres puissent se décomposer et se reformer en polyèdres semblables, plus petits ou plus grands (à l’intérieur de leurs séries de tailles respectives), tout en évitant de conférer à un triangle élémentaire, dans chacune des deux espèces (1 :1 : √2 e t 1 :√3 :2) le privilège d’être l’atome de base de tous ceux de son espèce ; ceci, tout simplement, parce qu’on multiplie et disperse ce privilège.

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Notes

1 Ce texte est la version remaniée d'un article originellement publié dans Lectures du « Timée » de Platon, édité par Michèle Tainmont, publication du groupe philosophie de la MAFPEN de Lille, Lille, Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques de Lille, 1994, p.49-56.

2 Indication qui n'est compréhensible que si on lit - qevn te kai; [et non pas e i[te kai] uJp v u{dwr uJpo; puro;~ meris- ajevro~.

3 Ce qui exclut, par exemple, un polyèdre « semi-régulier » (d'Archimède) dont les faces sont six carrés et huit triangles équilatéraux (construction dans Heath, History of Greek Mathematics, Oxford, Clarendon, 1921, I, p.295) et qui, aux dires d'Héron qui rapporte lui-même ceux d'Archimède, aurait été connu par Platon comme « complexe de terre et d'air » (pourquoi pas de terre et d'eau ou de feu ?).

4 Là encore, on s'aperçoit que Platon donne davantage de réalité aux sensibles de l'olfaction que ne leur en donnait Démocrite, puisque les différences entre les odeurs tiennent bien à des structures stéréométriques. Simplement ces structures stéréométriques ne représentent que des états transitoires dus au processus de transformation d'eau en air (et vice versa).

5 F.M. Cornford, Plato's Cosmology, Londres, Routledge, 1935, p.230 sq.

6 A. E. Taylor, A Commentary on Plato's Timaeus, Oxford, Clarendon,1928.

7 Cf. C. Mugler, La Physique de Platon, Paris, Klincksieck, 1960, p.25 dont l'analyse constitue une illustration saisissante de cette interprétation traditionnelle erronée.

8 Pour l'attribution de l'emploi de riJ vza à Empédocle ,c f. DK A 70, 13 ; B 53, 4 ; 54, 2 ; 154, 22.

9 Pour l'attribution de l'emploi de pansper miav à Démocrite, cf. D K A 45, 2.

10 Pour l'usage de to; spevrma attribué à Anaxagore, cf. par exemple DK B4 (lignes 5, 21 et 36).

11 Louis Joly, Les Polyèdres, Paris, Blanchard, 1979, p.40 fig.23.

12 Ce qui écarte et l'interprétation de Taylor (les rJivzai se raient les arêtes du polyèdre, ad. loc.) et celle de Mugler (Platon et la recherche mathématique de son époque, Strasbourg-Zürich,1948, p.122 : rJivza désignerait le point de soudure des 4 ou 6 triangles de chaque face : ce qui ne veut pas dire que je rejette l'idée qu'il y ait un tel point de soudure, mais simplement que ce soit lui qui soit visé par le terme rJivza.

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References

Bibliographical reference

Bernard Besnier, “Genèses relatives et genèses originelles dans le TiméeÉtudes platoniciennes, 2 | 2006, 129-140.

Electronic reference

Bernard Besnier, “Genèses relatives et genèses originelles dans le TiméeÉtudes platoniciennes [Online], 2 | 2006, Online since 11 August 2016, connection on 29 March 2024. URL: http://journals.openedition.org/etudesplatoniciennes/1066; DOI: https://doi.org/10.4000/etudesplatoniciennes.1066

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