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Dossier : Platon aujourd’hui

Objets et idéalités dans les mathématiques contemporaines

Frédéric Patras
p. 47-61

Texte intégral

Introduction

1Nombre de débats actuels sur la nature de la pensée mathématique sont pensés en référence au platonisme – nous commenterons plus avant, au moins brièvement, les plus significatifs d’entre eux. Les modalités des positionnements sont multiples, allant de la revendication assez naïve du statut d’objets idéaux pour les entités mathématiques jusqu’à l’opposition frontale à une certaine vulgate platonicienne, en passant par tout un ensemble de configurations intermédiaires nourries, chez les bons auteurs, de réflexions épistémologiques et techniques, qui montrent que les enjeux sont complexes et en grande partie aporétiques.

2Ces enjeux ne peuvent être appréhendés sans une entente authentique des débats sur les fondements des mathématiques des débuts du vingtième siècle et de leur dépassement ultérieur (dépassement en un sens dialectique, Aufhebung, dont une composante est liée au progrès spectaculaires de la technicité mathématique au cours du dernier demi-siècle), et pour certains d’entre eux sans une entente des progrès récents des sciences physiques et naturelles. Cet enracinement dans la science contemporaine est de toute évidence nécessaire et garantit la pertinence et l’actualité d’un questionnement de type platonicien, mais ne va pas sans risques – pour l’essentiel des risques de simplification, du côté scientifique, épistémologique ou philosophique.

3Enfin, il convient de signaler que ces réflexions se tiennent largement en dehors du cercle des études platoniciennes, en grande partie dans l’univers anglo-saxon, et, de façon plus surprenante, pour l’essentiel en marge de la communauté mathématique. Il y a là un contraste flagrant avec les débuts du xxe siècle, où le questionnement philosophique sur les mathématiques était largement porté par la communauté mathématique (avec les Poincaré, Hilbert, Brouwer, Weyl, Enriques...) et son articulation à la grande tradition philosophique garantie par différents facteurs, allant de la vigueur des traditions kantiennes (Cassirer) à la vocation résolument épistémologique de la phénoménologie husserlienne dont l’idéalisme transcendantal peut être conçu comme réactualisation critique du problème du statut des objets scientifiques et idéaux.

  • 1 La terminologie, volontairement provocatrice et supposée désigner les mathématiciens au contact d’e (...)

4Il est donc particulièrement intéressant de noter que l’on assiste, depuis quelques années, à une réappropriation de ces débats de la part de la communauté mathématique, que ce soit au travers de textes ou prises de positions individuelles ou au travers d’échanges relativement structurés, comme ceux ayant eu lieu au cours de ces dernières années dans le cadre de la Newsletter of the European Mathematical Society. Le présent travail se concentre sur ces débats et sur le point de vue des « mathématiciens au travail »1, et est structuré en trois moments, largement indépendants : une analyse d’abord de ces échanges, de leur signification et leur portée ; l’étude d’un moment clé pour la réception du platonisme par la communauté mathématique, avec la postérité des travaux et de l’œuvre de K. Gödel ; une réflexion plus spéculative, enfin, sur la portée du questionnement platonicien au-delà des problèmes usuels de théorie de la connaissance mathématique.

État de l’art

  • 2 « In my writings on the philosophy of mathematics, I have been concerned about the philosophical st (...)
  • 3 On signalera toutefois l’exception notable d’A. Connes, l’un des grands mathématiciens de la fin du (...)
  • 4 « The other aspect of Platonism [au-delà de l’assertion selon laquelle il existerait un domaine d’o (...)
  • 5 L’on rencontre, dans la littérature de tradition anglo-saxonne, diverses tentatives de typification (...)

5Le platonisme, au sens où il faut entendre l’usage du mot dans le contexte des débats actuels sur les idéalités au sein de la communauté mathématique, apparaît d’abord comme une référence facile et convenue à une théorisation des objets mathématiques comme existant dans un domaine d’Idées intangible et intemporel. Cette thèse, fréquente dans les débats quotidiens2, est toutefois rarement revendiquée explicitement dans les écrits sur l’épistémologie mathématique3. De façon un peu plus subtile et en partie indépendante, le platonisme est également parfois conçu comme une thèse quant à la possibilité d’un accès privilégié de l’esprit humain à un domaine d’objets idéaux4, sans que cet accès soit nécessairement conditionné à une ontologie spécifique et à une référence explicite à la nature transcendante de ces objets, ce qui permet à de nombreux mathématiciens d’adhérer au platonisme sans nécessairement adhérer à des thèses épistémologiques fortes et contraignantes5.

  • 6 C. Mc Larty 2005.

6Quelle que soit leur position vis-à-vis de ces thèses, la majorité des mathématiciens et épistémologues impliqués dans les débats sur le platonisme s’entendent toutefois pour reconnaître que celui-ci, dans sa conception actuelle, a peu à voir avec les thèses qui se dégagent des textes platoniciens, sur le fond très nuancés et aporétiques quant à la nature réelle des objets mathématiques. L’analyse récente de Colin McLarty6, qui met en avant l’opposition de Glaucon et Socrate dans la République pour distancier Platon des affirmations métaphysiques tranchées qu’on lui attribue souvent est donc largement acceptée et fait référence dans les controverses récentes.

7En pratique, il faut souligner que l’adoption du platonisme par les mathématiciens, qu’elle soit revendiquée explicitement ou se manifeste dans le contenu des thèses soutenues, se fait souvent sur un mode non théorisé. Il y va bien d’une philosophie implicite, largement non thématisée comme telle et cristallisant tout un ensemble de thèses, qui vont d’une opposition spontanée aux mots d’ordre du Cercle de Vienne et de l’empirisme logique selon lesquels les mathématiques seraient tautologiques et vides de contenu à la croyance, tout aussi spontanée – car vécue au jour le jour, avant toute forme de théorisation – en une certaine forme de résistance des objets et problèmes mathématiques qui, conjuguée aux phénomènes de signification, témoigne d’une pertinence de fait de thèses idéalistes lorsqu’il s’agit de comprendre authentiquement la pensée mathématique.

8Tout ce mouvement de fond d’empathie de très nombreux mathématiciens a toutefois quelque chose d’un peu décevant pour les études platoniciennes en cela que la référence à Platon y reste superficielle et limitée, pour l’essentiel, au livre VII de la République. Pour autant, si l’on cherche à aller au-delà d’une certaine naïveté des références philosophiques, qui n’est que trop souvent le cache-misère d’une indigence épistémologique, les références contemporaines au platonisme, pourvu qu’on les prenne au sérieux, posent des questions fondamentales qui vont bien au-delà de ce renvoi scolaire et convenu à la théorie des Idées. Nous soutiendrons ici, plus loin, que l’actualité platonicienne peut être appréhendée différemment, comme un programme de recherche en épistémologie des mathématiques contemporaines, quitte à aller au-delà de la seule problématique du statut des objets idéaux et de la référence privilégiée à la République.

9De façon plus technique (nous y reviendrons amplement par la suite car il s’agit là d’une des clés de la compréhension de l’actualité du platonisme), celui-ci apparaît enfin comme corrélat des polémiques sur les fondements des mathématiques, en particulier chez Gödel, qui est tout à la fois le plus grand logicien du xxe siècle et l’emblème d’un renouveau conceptuel, assumé et revendiqué, du platonisme dans l’univers mathématique, contre le formalisme et les divers réductionnismes qui viseraient à réduire la pensée à des processus mécanistes ou finitistes.

Débats contemporains

10L’actualité du platonisme en mathématiques n’est pas un vain mot : les débats de la Newsletter of the EMS, déjà amplement cités en note, en témoignent amplement. À titre d’illustration et d’entrée en la matière, nous allons revenir sur une dispute ayant animé le numéro de décembre 2008, dispute illustrant la nature des enjeux sous-jacents aux revendications pro- ou anti-platoniciennes. Sous le titre général, « On platonism », on y trouve un article, « Pourquoi je suis platonicien » de David Mumford, géomètre de renom, auquel répond Philip Davis, mathématicien appliqué, avec un article « Why I am a (moderate) social constructivist ».

11Les thèses défendues par Mumford sont tout particulièrement intéressantes en cela que, typiques du platonisme ambiant dans la communauté mathématique, elles montrent combien de telles positions peuvent avoir de significations concrètes, à la fois en termes de conceptions programmatiques et normatives de la science et, de façon plus effective, dans le refus de divers relativismes d’inspiration sociétales ou historiques. Mumford est mathématicien et, en bon mathématicien, commence son article par une définition du platonisme tel qu’il le conçoit :

La croyance qu’il y a une totalité constituée [a body dans le texte original] d’objets mathématiques, de relations mathématiques, et de faits les concernant qui est indépendante et non affectée par les entreprises humaines pour les découvrir.

12Mumford souligne qu’il évite soigneusement de localiser cette totalité dans un domaine d’existence au-dehors ou au-delà de l’espace-temps, pour éviter d’entrer dans des débats ontologiques, là où la pertinence du platonisme lui paraît être ailleurs : dans sa signification concrète et ses implications.

13De fait, il attaque prioritairement la communauté des historiens des mathématiques, et deux thèses : celle du relativisme culturel et celle du contextualisme. Mumford travaille aux États-Unis, mais des thèses similaires sont développées, aujourd’hui, dans la communauté de l’histoire des mathématiques en France, et véhiculent de véritables enjeux, au moins académiques, quant à ce que doit être l’histoire des mathématiques : une discipline d’abord axée sur les contenus, les concepts et leurs modalités d’émergence théorique, ou une discipline plutôt axée sur l’environnement historique, culturel ou sociologique des découvertes. Tout le monde est évidemment d’accord sur le fait que les différentes approches doivent coexister, mais la question du dosage est décisive. Elle semble, par exemple, conduire actuellement les historiens des mathématiques français à vouloir se désolidariser délibérément de le communauté mathématique, au nom d’un savoir-faire spécifique, et en rupture d’une tradition établie, puisque les historiens des mathématiques français les plus en vue de la seconde moitié du xxe siècle ont été des mathématiciens liés au groupe Bourbaki, comme Jean Dieudonné et André Weil.

14Dénier aux mathématiciens la pénétration des ressorts de l’histoire de leur discipline ne peut se concevoir qu’en réduisant drastiquement les enjeux théoriques et idéaux sous-jacents, et le rôle du travail des concepts : on comprendra que le platonisme, revendiqué par les mathématiciens au nom de leur expérience quotidienne des objets théoriques, soit attaqué par les tenants d’une autonomie de l’histoire. C’est tout le sens de l’argumentaire de Mumford :

Les historiens ont tendance à déjuger les amateurs comme moi pour leur naïveté en imposant leur point de vue moderne sur les textes anciens et en ne comprenant pas les influences culturelles et le contexte historique dans lequel le travail a été fait. Je répondrai : un métallurgiste impose-t-il un biais modernisant lorsqu’il analyse le contenu métallique d’une arme ancienne en utilisant la table périodique des éléments ? Tout dépend vraiment du fait que l’on accepte ou non la conception de l’universalisme platonicien sur la vérité mathématique. Si vous l’acceptez, utiliser les mathématiques modernes pour analyser les écrits d’époques révolues n’est en rien différent de l’utilisation par le métallurgiste de sa connaissance moderne des métaux.

15Ce serait donc la première fonction du platonisme que de pouvoir servir, à la fois en tant que référent philosophique et que théorie de l’universalité des concepts, de contrepoids aux tendances de fond, subjectivistes et relativistes, qui animent la modernité épistémologique.

16Pourtant, et de façon un peu plus surprenante, la même idée d’universalisme des objets et des concepts mathématiques peut être également utilisée dans une autre direction, à savoir contre une approche techniciste et formelle aux contenus scientifiques. C’est une idée que nous retrouverons, un peu plus tard, avec l’étude de Gödel, mais que l’on rencontre aussi dans d’autres utilisations contemporaines du platonisme. Mumford, que je cite à nouveau, va dans ce sens :

Si vous ouvrez le texte d’Archimède, « Sur la sphère et le cylindre I », vous y trouverez cette hypothèse : « deux courbes planes ayant les mêmes extrémités ont des longueurs différentes dès qu’elles sont concaves dans la même direction et que l’une est incluse entre l’autre et la ligne droite qui réunit ses extrémités, et la courbe incluse est la plus courte », et similairement pour des surfaces concaves.

J’ai été étonné par ces axiomes. La raison en est qu’ils sont très élégants, et parfaitement adaptés aux arguments qui suivent dans le texte d’Archimède, qui dépendent de toute une suite d’estimées utilisant ces hypothèses. Aujourd’hui, nous dirions que le fait qu’il ne les prouve pas est une déficience de son approche ! Soit ! Mais quiconque ayant l’expérience du monde (par exemple le jeune esclave qui trouve, chez Platon, la diagonale du carré unité) les trouve évidents.

Trouver exactement le mode correct de rendre compte de quelque chose est ce que j’ai trouvé être, dans ma propre expérience mathématique, l’un des plus beaux et plus satisfaisants aspects des mathématiques.

17Les implications de ces observations sont importantes, du point de vue de l’actualité du platonisme, mais aussi, au-delà, en cela qu’elle traduit une des questions irrésolues, mais surtout en grande partie négligées, de la pensée mathématique contemporaine. En effet, comme Mumford le souligne – mais il est loin d’être le seul –, il y a un décalage, en gros depuis les débuts du xxe siècle, entre les exigences des mathématiques formalisées, reposant sur des systèmes d’axiomes, et la pratique mathématique quotidienne où, au fond, l’axiomatique joue un rôle assez peu important, l’essentiel du travail, de la découverte et des avancées se jouant dans l’immédiateté du rapport aux objets et aux formules mathématiques. De ce point de vue, il y a une certaine robustesse des objets mathématiques qui fait que le raisonnement du jeune esclave qui découvre ou se remémore la longueur de la diagonale du carré unité ou construit un carré de surface double de l’unité est correct indépendamment de toute formalisation.

18Bourbaki, le groupe de mathématiciens français, a formulé cette idée en remarquant qu’au fond, quand bien même les systèmes d’axiomes retenus pour formaliser les mathématiques modernes s’avèreraient inconsistants, il ne doutait pas quant à lui que l’essentiel des mathématiques survivraient à ces contradictions formelles. De ce point de vue, la question du statut cognitif, logique et ontologique des objets mathématiques est une question qui continue de faire sens aujourd’hui en dépit de sa lourde charge historique, qui la rend difficilement abordable sans un luxe de précautions théoriques et historiques.

19Il ne faut évidemment pas surestimer ce que peut apporter la lecture de Platon à ces débats, qui se sont en grande partie construits autour de problèmes techniques liés aux fondements des mathématiques ; pour autant, il ne faut pas négliger non plus la contribution que le platonisme peut apporter à la structuration des débats, à la fois en tant que constituant l’une des clés historiques de la compréhension des objets idéaux, mais également en ce qu’il permet de poser la question des universaux selon des modalités transverses à celles le plus souvent retenues pour les mathématiques modernes, essentiellement de nature logique, et dont on sait aujourd’hui qu’elles ne suffisent pas à la compréhension des phénomènes.

L’écueil du platonisme naïf

20L’obstruction majeure à tout progrès dans cette direction semble tenir à une certaine naïveté dans les références au platonisme, limitées à quelques mots d’ordre et qui contraignent les débats à en rester à un niveau assez superficiel. De telles références au platonisme pourraient même avoir une fonction négative dès lors que l’utilisation de Platon comme caution intellectuelle peut parfois permettre aux mathématiciens de se dispenser d’une réflexion authentique tout en légitimant en apparence les critiques faciles de ses opposants, qu’ils soient réalistes, nominalistes ou philosophes du langage.

21René Thom, l’un des mathématiciens les plus brillants et créatifs de la seconde moitié du xxe siècle, s’est autorisé de ces facilités dans un livre d’entretiens :

Les idées mathématiques sont produites dans notre cerveau dans la mesure où nous les pensons. Mais comme elles existent lorsque nous ne pensons pas, elles existent quelque part, et pas seulement dans notre mémoire : elles existent, je dirais, également ailleurs [...].

Elles existent donc déjà avant même qu’on ne les ait découvertes ?

  • 7 R.Thom, Prédire n’est pas expliquer, Eshel, Paris, 1991.

Certainement ! Et elles se réalisent en un certain sens dans tel ou tel cas, sur tel ou tel matériau approprié. C’est la vieille idée de la participation qui était déjà chez Platon7.

22Ce qui est gênant dans de telles prises de position – un phénomène que l’on retrouve en partie dans les débats de la Newsletter of the EMS qui nous ont servi de fil conducteur jusqu’ici, même si la plupart des auteurs y sont beaucoup plus prudents que R. Thom dans leur interprétation du platonisme – est que la référence à Platon ne s’ouvre pas sur une discussion philosophique, une problématisation de l’idée de la participation à l’aune de la modernité mathématique. La pensée platonicienne authentique se construit dans la maïeutique, dans la confrontation d’exigences conceptuelles à un état de la pensée imparfait, dont la méthode dialectique va établir les limites et qu’elle va conduire vers de nouveaux horizons. Son utilisation dogmatique est profondément insatisfaisante.

23Pour conclure rapidement cette partie sur les débats en cours, un mot sur les opposants au platonisme, avec comme illustration le texte de Philip Davis, qui fait pendant au texte de Mumford. La contribution de Davis se limite pour l’essentiel à considérer l’exemple des nombres négatifs, pour mettre en évidence les problèmes qu’ils ont posés et leur difficile acceptation au cours de l’histoire. Davis en conclut qu’un concept aussi fondamental que celui de nombre n’a au fond rien de consensuel, d’évident, ni de permanent :

On peut certes prétendre [à la considération de l’histoire du concept de nombre] que l’on y observe une tendance, certes imparfaite, vers un concept platonicien de nombre qui transcenderait l’histoire des avancées individuelles. En contrepartie, on peut alors objecter le processus en apparence sans fin de construction de nouveaux systèmes de nombres : nombres complexes, quaternions, infinis de toutes sortes, infinitésimaux, nombres p-adiques, nombres inaccessibles, etc. [...] Mais alors, qu’en est-il du concept platonicien qui transcenderait cette vue historique ?

J’en conclus pour ma part que les éléments des systèmes de nombres, qui constituent une partie petite, mais vitale, du corpus mathématique, ne peuvent être trouvés dans les nuées du paradis platonicien, mais résident dans les croyances et actions partagées d’une communauté étendue des mathématiciens.

24La conclusion est très discutable : l’exemple du jeune esclave confronté au problème de la duplication du carré montre que, toutes questions ontologiques mises à part, la pensée fonctionne selon des mécanismes universels – hors de tout relativisme culturel. Pour autant, l’analyse de Davis n’est pas sans intérêt, y compris du point de vue des études platoniciennes : les quelques paragraphes qui suivent chercheront à en dégager quelques thèses et questions, moins sur un mode assertorique que dans un esprit d’ouverture aux problèmes sous-jacents.

  • 8 Parménide, dans Platon, Œuvres complètes, dir. Luc Brisson, Flammarion, 2008.

25Tout d’abord, si l’on fait abstraction de la détestable conclusion communautariste, l’argument de Davis n’est peut-être pas aussi anti-platonicien qu’il y paraît, témoignant plutôt d’une adhésion implicite à une conception réductrice du platonisme que d’une objection véritable. Tout dépend, en grande mesure, de l’interprétation que l’on donne de textes comme le Parménide, beaucoup trop négligés lorsqu’on aborde la question de l’épistémologie mathématique. Le Parménide8, pris à la lettre, pose explicitement le problème de la nature des objets idéaux ou des Formes et de la difficulté qu’il y a à les appréhender correctement – en sachant par ailleurs qu’affronter ces difficultés est le seul moyen, au moins au sein du platonisme, de donner un sens à la dialectique et, au-delà, pour rendre possible la connaissance théorique :

Parménide : Voilà Socrate quelles sont les difficultés – et en plus de celles-ci, il y en a un plus grand nombre encore – qui s’attachent inévitablement aux Formes, à supposer que les Formes des choses présentent une existence en soi et qu’on définisse chaque Forme comme quelque chose en soi. De là les incertitudes qu’on éveille chez celui à qui l’on expose ces théories, et les objections qu’il soulève [...] Mais pourtant, si, Socrate, il se trouve quelqu’un qui, au vu de toutes les difficultés qui viennent d’être soulevées et d’autres du même genre, n’admette point qu’il y ait des Formes des choses, quelqu’un qui refuse de poser à part une Forme pour chaque chose en particulier, cet individu ne saura de quel côté tourner sa pensée, parce qu’il n’admet point que pour chaque chose il y a une Forme qui est toujours la même, et, par suite, il détruira toute possibilité de pratiquer la dialectique.

26Il convenait d’insister sur cette citation, moins à l’attention des questions philosophiques générales qu’elle soulève, et dont on connaît bien la postérité complexe depuis les querelles médiévales sur les universaux, jusque dans le contexte des débats contemporains sur le platonisme et les mathématiques. Nul doute ainsi que le concept de nombre ne soit problématique : il l’était déjà pour la philosophie grecque, comme on le constate à la lecture de la Métaphysique aristotélicienne. La multiplicité des types de nombres apparus depuis, et dont Davis donne un aperçu, change en partie les données du problème, mais laisse intacte la question fondamentale, qui est celle d’une existence de fait d’un concept unificateur de nombre sous lequel ces différents types sont unifiés, y compris dans les mathématiques contemporaines.

27Le fait, indéniable, que le concept de nombre se soit transformé au cours de l’histoire, signifie simplement que son contenu s’est modifié, un phénomène qui ne semble en rien incompatible avec la problématisation effectuée dans le Parménide, ni d’ailleurs avec une certaine forme de permanence et d’intemporalité du concept de nombre tel que pouvait l’envisager la philosophie grecque du ive siècle (auquel on se réfère désormais en parlant de « nombres naturels », l’adjectif « naturel » témoignant qu’un déplacement conceptuel s’est effectué au-delà de la notion originaire).

28Plus généralement, le Parménide montre bien combien la théorie des Idées et des Formes a une dimension aporétique, reconnue comme telle et explicitée dans les textes platoniciens – une dimension entièrement occultée dans les débats comme ceux de la Newsletter de l’EMS, mais dont la prise en compte est – ce sera le point de vue défendu ici – un enjeu majeur pour la philosophie mathématique.

Le platonisme gödélien

  • 9 On croit trop souvent que la technicité mathématique plaide pour une approche formalisée et anti-mé (...)

29Le deuxième moment de cet article, plutôt historique, portera sur le rôle qu’a joué le platonisme au cours des cinquante dernières années dans les débats logiques, pour l’essentiel autour de la figure de Kurt Gödel. Ce rôle a été l’un des ingrédients essentiels d’une relégitimation, sur des fondements techniques9, du platonisme dans l’épistémologie contemporaine après la période majoritairement anti-métaphysique associéé au développement des thèses du Cercle de Vienne et du positivisme logique, culminant dans le « grammairisme » post-Wittgensteinien.

  • 10 Connes (A.), Lichnerowicz (A.) et Schützenberger (M.-P.) 2000. Compte tenu de la forme dialoguée du (...)

30Alain Connes10 a donné récemment un exposé assez fidèle du platonisme gödélien, que nous reproduisons en prélude à un commentaire plus approfondi des sources gödéliennes :

Le point de vue des formalistes, à mes yeux, ne rend compte que d’un aspect des mathématiques. J’avoue être résolument platonicien et refuser de ne voir dans la fréquentation des « Êtres mathématiques » qu’une recette de chercheur. Je pense que le théorème de Gödel montre très clairement les limites du point de vue des formalistes : poussé à l’extrême, ce point de vue conduit à une impasse. Cela m’a convaincu, à cause de la nécessaire distinction entre vérité et prouvabilité, par exemple, de séparer la réalité mathématique brute [...] du système axiomatique et logico-déductif que nous élaborons pour le comprendre [...].

Je maintiens que les mathématiques ont un objet, tout aussi réel que celui des sciences [comme la géologie, la physique des particules...], mais qui n’est pas matériel, et n’est pas localisé ni dans l’espace ni dans le temps. Il a cependant une existence tout aussi ferme que la réalité extérieure, et les mathématiciens s’y heurtent un peu comme on se heurte à un objet matériel dans la réalité extérieure. Cette réalité dont je parle, du fait qu’elle n’est localisable ni dans l’espace ni dans le temps, donne, lorsqu’on a la chance d’en dévoiler une infime partie, une sensation de jouissance extraordinaire par le sentiment d’intemporalité qui s’en dégage [...].

L’on est habitué à distinguer, dans la réalité extérieure familière, entre vérités et décisions d’un tribunal ; à ne pas confondre ce qui est prouvable au tribunal avec ce qui est vrai. L’on doit s’habituer de même à distinguer entre vérités arithmétiques et conséquences logiques des axiomes [...]. En fait, il y aura toujours une propriété vraie de cette réalité archaïque qui échappera au mode d’exploration donné par la méthode axiomatique et logico-déductive.

31Pour l’essentiel, le texte reprend les grandes thèses du platonisme sous sa forme la plus courante au sein de la communauté mathématique, mais contient (outre la qualité spécifique au témoignage d’A. Connes, l’un des mathématiciens les plus profonds et créatifs de la période récente) un ingrédient original par rapport aux exposés traditionnels, qui est la référence aux théorèmes de Gödel et aux énoncés arithmétiques.

32Connes baptise sa position « réalisme archaïque », au sens où il existerait, en arithmétique, une réalité archaïque, primordiale, préexistante aux théorisations mathématiques. Traditionnellement, on qualifierait plutôt cette position de « platonisme (gödélien) modéré », pour des raisons sur lesquelles nous allons revenir.

Gödel et Hilbert

33Le point de départ de ces thèses est constitué par les célèbres théorèmes de Gödel, autour des années 1930, qui affirment :

    • 11 Voir par exemple « Introductory Note to *1933o », dans K. Gödel, Collected Works, vol III 1955.

    D’une part, qu’aucun système formel contenant l’arithmétique de Peano ne peut prouver sa propre consistance (sauf à être inconsistant : deuxième théorème d’incomplétude11).

  • D’autre part, qu’il existe, dans tout système formel S contenant l’arithmétique, des propositions vraies mais qui ne peuvent être démontrées dans S (en pratique, il faut ajouter de nouveaux axiomes pour qu’elles le deviennent).

  • 12 D. Hilbert 1971.

34Pour en comprendre la portée, il faut remonter à la fin du xixe siècle et au début du xxe avec, d’une part, les travaux de Hilbert ou Frege et, d’autre part, les débats sur les fondements des mathématiques qui étaient nés des paradoxes de la théorie des ensembles. La grande révolution épistémologique de cette période de l’histoire des mathématiques, pour ce qui est du statut des objets et idéalités mathématiques est le fait de Hilbert. Dans ses Fondements de la géométrie12, il avance la thèse que l’on peut dissocier entièrement la signification associée aux entités mathématiques de leur émergence dans les langages formalisés. Selon une formule restée célèbre, même si l’on décidait d’appeler « chaises » les droites ou « tables » les points de la géométrie euclidienne, de façon à priver l’esprit de toute intuition concrète des phénomènes, la théorie continuerait d’être valide. C’est là probablement le coup le plus violent jamais porté au platonisme, puisqu’il remet radicalement en cause l’idée même d’objet, pour revendiquer une autonomie et une primauté du langage, du formalisme, et des systèmes axiomatiques.

35À partir de ce tournant hilbertien de la théorie de la connaissance mathématique, l’enjeu allait être double :

  • D’une part, il allait falloir désormais affronter le problème de la consistance : puisque la validité des théories mathématiques n’est plus garantie par une ontologie implicite, il faut prouver leur absence de contradiction par des méthodes formelles – et donc de type symbolique, finitaire.

  • D’autre part, de façon plus générale, il allait falloir élucider les rapports entre vérité et prouvabilité, c’est-à-dire, en gros, la complétude des théories : l’aptitude des systèmes formels à décider de la validité des énoncés d’une théorie.

36Les deux principaux résultats de Gödel, qui ont suivi de peu l’élaboration du programme hilbertien, ont ruiné cette double ambition, en montrant que l’on ne peut jamais prouver la consistance d’un système formel à l’intérieur de ce système et, d’autre part, que la vérité échappe toujours à la formalisation.

Gödel et le platonisme

37L’interprétation épistémologique et philosophique à donner à ces résultats n’allait pourtant pas de soi ; Gödel a explicitement choisi de les revendiquer comme allant dans le sens du platonisme, donnant par là même naissance à l’un des courants platoniciens les plus vigoureux au sein de l’épistémologie contemporaine.

  • 13 En 1967 et 1968, voir K. Gödel, op. cit.
  • 14 Pour lesquelles la meilleure introduction reste sans doute la lecture des Œuvres complètes de Gödel (...)

38Le platonisme de Gödel ne fait donc aucun doute. Il a affirmé très explicitement13 avoir adhéré au platonisme dès ses années d’étude à Vienne et l’a, à partir du milieu des années 40, revendiqué en public et dans ses écrits. Quelques ambiguïtés demeurent à la marge : un texte de 1933 laisse par exemple penser que Gödel aurait épousé un moment un « platonisme modéré » (celui-là même que Connes adopte dans Triangle de pensées), à savoir un platonisme revendiqué uniquement dans le contexte de l’arithmétique où les objets – les nombres – et les relations qui les unissent – les équations – ont une existence indiscutable, la question du statut des objets mathématiques dans le contexte plus général de la théorie des ensembles, plus sujette à problème, restant ouverte. Ce sont là des questions extrêmement intéressantes14 (jusqu’où le platonisme est-il compatible avec les différentes variantes de la théorie des ensembles et avec les techniques développées pour étudier les problèmes ensemblistes les plus fins : indépendance et consistance relative de l’axiome du choix, de l’hypothèse du continu... ?), mais dont l’étude requiert un niveau de technicité élevé et ce plutôt à l’interface de la philosophie et de la logique mathématique, alors que nous avons choisi ici de nous intéresser prioritairement aux mathématiques.

  • 15 K. Gödel (Kurt), « Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications », (...)

39De façon plus directement reliée à l’objet de cet article, une intervention de Gödel de 1951 lors d’une réunion de l’American Mathematical Society15, non seulement ne laisse aucun doute quant à son engagement platonicien, mais montre qu’il est articulé à une réflexion sur l’essence des mathématiques, qui le conduit pas exemple à revenir d’une définition formelle de l’analycité (selon laquelle une proposition serait analytiquement vraie du fait de la définition de ses termes) à une définition où la vérité résulte des propriétés et du comportement des choses mêmes.

40Citons quelques passages particulièrement représentatifs du texte. Sur l’analycité d’abord, où l’on voit Gödel prendre position, sur le fond de ses travaux logiques (et donc à un niveau de technicité et d’entente des enjeux théoriques sensiblement supérieur à celui que l’on rencontre fréquemment dans ce type de débats), contre la thèse du caractère tautologique des mathématiques adoptée par le Cercle de Vienne et le positivisme logique :

Ce concept d’analycité est si éloigné de signifier « vide de contenu » qu’il est parfaitement possible qu’une proposition analytique puisse être indécidable [...]. Car notre connaissance du monde des concepts peut être aussi limitée et incomplète que celle du monde des choses. Il est assurément indéniable que cette connaissance est en un certain sens non seulement incomplète, mais même indistincte. Ceci se produit avec les paradoxes de la théorie des ensembles, qui sont fréquemment évoqués comme une réfutation du platonisme de façon, me semble-t-il, totalement injustifiée. Nos perceptions visuelles contredisent quelquefois nos perceptions tactiles [...], mais personne de sensé n’en conclurait que le monde ambiant n’existe pas [...].

[En conclusion], j’ai l’impression qu’après une clarification suffisante des concepts en question, il sera possible de conduire ces discussions avec la rigueur mathématique et que le résultat sera que [...] la conception platonicienne est la seule tenable. Par là, je veux dire la conception selon laquelle les mathématiques décrivent une réalité non sensuelle, qui existe indépendamment à la fois des actes et des dispositions de l’esprit humain et est seulement perçue, et ce probablement de façon très incomplète, par l’esprit humain. Cette vue est plutôt impopulaire chez les mathématiciens, toutefois plusieurs grands mathématiciens y ont adhéré.

41Et le commentateur de l’article dans l’édition des œuvres complètes, G. Boolos, de faire remarquer, conformément aux analyses de la première partie de cet article, que :

Gödel dit que le platonisme est plutôt impopulaire chez les mathématicien ; il est probable qu’il soit plutôt populaire chez eux désormais, 40 ans après qu’il a délivré sa conférence, et ce dans une certaine mesure du fait de ses propres prises de position – mais peut-être de façon encore plus importante parce que toutes les alternatives semblent souffrir de graves lacunes mathématiques ou philosophiques.

42Étudier tout l’impact des idées gödéliennes sur le renouveau du platonisme et son acceptation par la communauté des mathématiciens justifierait une étude historique spécifique. Nous en resterons ici au seul commentaire des thèses de Gödel lui-même, dont se dégagent tout un ensemble de conclusions importantes :

  • Tout d’abord, il est indéniable que les théorèmes d’incomplétude et leur interprétation comme autant d’indications qu’une certaine réalité mathématique déborde une conception axiomatique-formelle ou syntaxique de la vérité, ont eu une influence profonde, pénétrant l’épistémologie implicite de la communauté mathématique au point que l’on retrouve les thèses gödéliennes revendiquées par un mathématicien contemporain de la trempe d’A. Connes.

  • L’analyse gödélienne est une machine de guerre technique, issue de l’analyse logique, contre les différents réductionnismes, qu’ils soient issus du positivisme logique ou, au sein du monde scientifique, de la filiation hilbertienne.

  • Enfin, l’héritage gödélien montre que le platonisme ne ressort pas intact du dialogue avec la logique et les fondements des mathématiques, puisque l’on peut, par exemple, concevoir de façon tout à fait légitime divers platonismes, selon le type d’objets et de réalités mathématiques que l’on considère comme ontologiquement indiscutable – qu’il s’agisse des nombres, comme dans le réalisme arithmétique archaïque (le platonisme gödélien modéré) adopté par Connes, ou des idéalités plus complexes telles qu’issues des différentes variantes de la théorie des ensembles.

L’Eros mathématique

43La partie finale de cet article sera articulée autour de quelques idées et développements moins attendus dans un texte portant sur le platonisme mathématique que ceux tournant autour de la question des idéalités mathématiques. Ces développements semblent en profonde adéquation avec l’esprit et le texte des dialogues platoniciens, mais leur relative hétérogénéité aux contenus habituellement débattus dans le cadre de la philosophie des mathématiques récente en rend, on va le voir, le simple énoncé délicat.

  • 16 Sur l’œuvre et la pensée d’A. Grothendieck, outre le manuscrit Récoltes et semailles, réflexions su (...)

44Un des traits les plus attachants de l’œuvre de Platon est la tonalité des textes de la maturité (385-370) comme le Banquet ou le Phèdre. Outre une évidente beauté littéraire, s’y trouve abordée une question centrale, mais à peu près inexplorée encore aujourd’hui, au moins au niveau épistémologique, qui est celle du rapport à la création. À cette question, qui est l’une des clés du platonisme en tant que système ou théorie globale de la connaissance, font écho des analyses effectuées dans les années 80 par l’un des plus grands mathématicien du xxe siècle, Alexandre Grothendieck16. C’est par l’intermédiaire de son témoignage que le problème des ressorts de la création mathématique sera abordée ici.

45Grothendieck est une personnalité atypique dans le panorama des mathématiques. Après avoir édifié l’une des principales œuvres mathématiques de l’histoire, il s’est progressivement détourné du milieu académique, puis de la production scientifique, à partir de 1968-70, pour écrire, entre autres, une autobiographie intellectuelle, Récoltes et semailles, où il souligne l’absence de réflexion digne de ce nom sur la signification individuelle du travail de recherche :

Je m’étais rendu compte, depuis des années, que la nature du travail créateur était généralement ignorée, occultée par des clichés à tout venant et par des répressions et des peurs ancestrales.

Cette partie « créatrice entre toutes » dans le travail de découverte ne transparait pratiquement nulle part dans les textes, que ce soient des manuels et d’autres textes didactiques, ou les articles et mémoires originaux, ou les cours et exposés de séminaire [...].

46Chez Platon, la tension vers la connaissance, le désir de savoir qui est le propre de l’attitude philosophique, parcourt et structure l’œuvre. Plusieurs dialogues permettent ainsi de dégager des éléments de structuration de la réflexion sur le travail de recherche et de découverte réclamée par Grothendieck. Le Banquet d’abord, énonce de façon exemplaire plusieurs directions d’analyse qui admettent des prolongements mathématiques :

  • La tension spontanée vers la connaissance, la jouissance intellectuelle que procurent la compréhension et la découverte sont constitutives de l’expérience mathématique. On les retrouve assez naturellement dans les réflexions aux accents néo-platoniciens d’A. Connes : « Cette réalité dont je parle donne, lorsqu’on a la chance d’en dévoiler une infime partie, une sensation de jouissance extraordinaire par le sentiment d’intemporalité qui s’en dégage. »

  • La seconde direction est déjà plus problématique, et sans doute moins consensuelle. Elle tient aux motivations profondes de la création. Si le contact avec une certaine forme de beauté des théories, si la pénétration des raisons des phénomènes mathématiques est à l’origine d’une satisfaction esthétique profonde, pourquoi faudrait-il privilégier l’expérience de la découverte et de la recherche à celle de la compréhension telle qu’elle résulte, par exemple, de la lecture d’œuvres mathématiques ? Selon une formule d’A. Grothendieck : « L’inconnu que je poursuis dans la mathématique, pour qu’il m’attire avec force, ne doit pas être seulement inconnu de moi, mais inconnu de tous. »

47La réponse platonicienne tient, dans une certaine mesure, à l’idée de procréation et de quête d’immortalité. Créer un nouveau concept, découvrir la solution d’un problème difficile serait l’analogue de la procréation au niveau de l’espèce. Pour autant, comme toujours, cette première réponse platonicienne doit être nuancée : dans le Banquet, Diotime pense Eros non comme accomplissement, expérience du Beau, mais plutôt comme démon à mi-chemin entre le savoir et l’ignorance, transi du besoin de connaître et de faire l’expérience de la plénitude. Le Phèdre, qui porte sur la folie amoureuse sous ses différentes formes, de l’amour des corps à l’amour du savoir, poserait des problèmes analogues – au sens où la création mathématique est sans doute liée à une forme de possession et d’inspiration.

48La conclusion provisoire de cette incursion dans les dialogues de la maturité est que penser les mathématiques sur un mode platonicien aujourd’hui ne signifie pas seulement penser le problème des idéalités ou des Formes, mais, au-delà, chercher à penser la finalité de la recherche et du savoir. On mesurera sans doute mieux l’originalité de l’approche platonicienne si on l’affronte à une perspective existentielle de type post-heideggérien : là où le xxe siècle a choisi de penser le rapport à la science sur le mode de la puissance et de la volonté de puissance, le platonisme inviterait plutôt à le penser sur le mode du devoir-être et des exigences propres à la pensée théorique.

Remarques en guise d’épilogue

49Le parcours de cet article, le long de deux thèmes structurant l’actualité mathématique du platonisme (l’existence de débats récents, nombreux et nourris de réflexions et perspectives concrètes ; le rôle joué par la postérité de Gödel et de ses idées sur la logique et les fondements des mathématiques) et du thème plus spéculatif de sa possible mobilisation dans l’analyse des ressorts de la création mathématique, a cherché à montrer combien la « problématique platonicienne » pouvait aller au-delà des débats convenus. Plutôt que la conclusion d’une étude, il faut donc y voir une tentative d’ouverture, aux confins de deux pratiques académiques – les études platoniciennes et la recherche mathématique.

50Qu’une telle démarche corresponde à un besoin authentique de la part de la communauté mathématique, trop longtemps dépouillée de parole dans les débats épistémologiques, semble largement attesté par l’émergence de prises de positions explicites, par des mathématiciens de profession, à l’égard du platonisme et, de façon plus diffuse, par un besoin général de réflexion et de légitimation de la pensée et de l’activité scientifique, à un moment de l’histoire où les vocations scientifiques semblent se tarir, où les départements de mathématiques peinent à recruter et convaincre les étudiants de s’engager dans des études longues et difficiles. L’optimisme platonicien est à reconquérir.

Ce qui fait la qualité de l’inventivité et de l’imagination du chercheur, c’est la qualité de son attention, à l’écoute de la voix des choses. Car les choses de l’Univers ne se lassent jamais de parler d’elles-mêmes et de se révéler, à qui veut les entendre.

Si j’ai pu donner ma pleine mesure dans mon travail mathématique, et produire et enfanter une œuvre et une vision vastes, puissantes et fécondes, ce n’est à rien d’autre qu’à cette fidélité que je le dois ; à cette absence de tout souci de me conformer à des normes, grâce à quoi je m’abandonne avec une totale confiance à la pulsion de connaissance originelle. (A. Grothendieck).

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Notes

1 La terminologie, volontairement provocatrice et supposée désigner les mathématiciens au contact d’enjeux scientifiques authentiques, s’est répandue après la publication d’un ouvrage sur la théorie des catégories par McLane 1998.

2 « In my writings on the philosophy of mathematics, I have been concerned about the philosophical stance or preconceptions of practicing mathematicians, whether explicitly formulated or not. As I have written, this usually involves some choice or combination or alternation of ‘formalism’ and ‘Platonism’, both of them in rough-and-ready, naive versions. Their ‘Platonism’ says mathematical objects exist independently of our knowledge or activity, and mathematical truth is objective, with the same status as scientific truth about the physical world. This may be boiled down to the phrase ‘out there’. That’s where mathematical entities are, meaning, not ‘in here’. » (R. Hersch 2008, 17-18)

3 On signalera toutefois l’exception notable d’A. Connes, l’un des grands mathématiciens de la fin du xxe siècle, connu pour le développement de la géométrie non commutative. Nous reviendrons plus loin sur son témoignage.

4 « The other aspect of Platonism [au-delà de l’assertion selon laquelle il existerait un domaine d’objets idéaux indépendant] is that it involves a definite claim about the way the human brain functions. Platonists believe that our understanding of mathematics involves a type of perception of the Platonic realm, and that our brains therefore have the capacity to reach beyond the confines of the physical world as currently understood [...] Although he is a Platonist, Roger Penrose is almost unique in accepting that his beliefs imply that the mathematical brain cannot obey the known laws of physics. » (E.B. Davies 2007).

5 L’on rencontre, dans la littérature de tradition anglo-saxonne, diverses tentatives de typification des variantes du platonisme agrémentées parfois de l’usage assez déplaisant d’acronymes, dont l’archétype est le FBP (full-blooded platonism) de M. Balaguer (voir par exemple dans A.D. Irvine (ed.) 2009 p. 35-101. Citons aussi la notion de applied platonism, qui porte sur le rapport des mathématiques au réel (Z. Artstein 2010, 23-24).

6 C. Mc Larty 2005.

7 R.Thom, Prédire n’est pas expliquer, Eshel, Paris, 1991.

8 Parménide, dans Platon, Œuvres complètes, dir. Luc Brisson, Flammarion, 2008.

9 On croit trop souvent que la technicité mathématique plaide pour une approche formalisée et anti-métaphysique (métaphysique étant entendu ici de façon très étendue, disons au sens de théorie générale des conditions de possibilité de la connaissance). C’est une erreur, plus commune d’ailleurs dans certains courants philosophiques récents que dans la communauté mathématique, cette dernière étant probablement plus consciente des limites des thèses réductionnistes et positivistes du fait de son expérience concrète des matériaux théoriques et des modalités de leur émergence.

10 Connes (A.), Lichnerowicz (A.) et Schützenberger (M.-P.) 2000. Compte tenu de la forme dialoguée du texte, A. Connes ne donne pas de références explicites pour soutenir ses thèses, mais leur contenu adhère si précisément à ce qui est généralement considéré comme la thèse fondamentale du platonisme gödélien, que leur paternité ne fait guère doute.

11 Voir par exemple « Introductory Note to *1933o », dans K. Gödel, Collected Works, vol III 1955.

12 D. Hilbert 1971.

13 En 1967 et 1968, voir K. Gödel, op. cit.

14 Pour lesquelles la meilleure introduction reste sans doute la lecture des Œuvres complètes de Gödel et des commentaires, souvent détaillés, à la fois au niveau historique et technique, qui les accompagnent.

15 K. Gödel (Kurt), « Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications », dans Collected Works, op. cit.

16 Sur l’œuvre et la pensée d’A. Grothendieck, outre le manuscrit Récoltes et semailles, réflexions sur un passé de mathématicien, publié et diffusé sous forme miméographiée au cours des années 1980, de façon informelle et restreinte à l’univers des départements de mathématiques, par l’Université de Montpellier, on pourra consulter notre ouvrage, F. Patras 1999. Les citations qui suivent sont extraites de Récoltes et semailles.

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Pour citer cet article

Référence papier

Frédéric Patras, « Objets et idéalités dans les mathématiques contemporaines », Études platoniciennes, 9 | 2012, 47-61.

Référence électronique

Frédéric Patras, « Objets et idéalités dans les mathématiques contemporaines », Études platoniciennes [En ligne], 9 | 2012, mis en ligne le 01 mars 2014, consulté le 25 avril 2017. URL : http://etudesplatoniciennes.revues.org/267 ; DOI : 10.4000/etudesplatoniciennes.267

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Droits d’auteur

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